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干货:高中数学竞赛规划指南

2019-03-03 17:55:28 北小斗 阅读量:209

本文从一个数竞过来人的角度,系统整理了高中数学竞赛规划指南,介绍了相关好书,为大家提供参考。

 

高中数学竞赛规划指南

◆  ◆  ◆

初三暑假到高一上学期

大部分学生的竞赛之路是从初三毕业的那个暑假开始的,在开始竞赛的第一阶段,需要把高考课内要求掌握的数学知识在较短的时间内学完,这一阶段的目标是非常清晰明确的。

第一阶段是大多数竞赛生学习必备知识的阶段,说白了就是先把高考课程内要求掌握的所有知识自学完成,吃饱了上路。这一阶段的目标,清晰明确:配合老师的课堂教学,尽可能快地自学完成高考数学的绝大多数内容,在最短时间内达到高考的要求。

在这一部分,并没有什么特别值得推荐的参考书,但是要强调,不是粗糙地快速过完高考课内内容,而是要达到高考的要求,不能只知识点不做题。

建议在学习高考内容时,不要全凭天赋,也要整理一些套路,这样即使未来竞赛出不来,回到高考和自主招生,学习方法层面不会出大问题。

◆  ◆  ◆

高一上学期到高一寒假

第二阶段是竞赛生第一次真正意义上地开始竞赛的学习,是飞机起飞前的第一冲刺滑行阶段。我建议你需要完成的事情是:学习一试的内容和平面几何的内容。

对于一试部分的内容,我推荐的教材是华东师范大学出版社出版的《奥数教程》,注意是高一年级和高二年级的基础篇(只有基础篇)。学数学竞赛的人不可能没听说这一套书,这一系列共分三本,分别在封面注明了高一到高三三个年级。

高一的这一本包括的知识点有:集合、函数、数列、三角函数、向量和立体几何,除了集合包含一定的组合知识,其他的内容均为一试内容(可能还包括一点二试的代数内容),题目非常典型且有难度,不管是基础篇还是提高篇都是必须刷完的。

高二这本书基础篇包括:一试难度的不等式,解析几何和复数,提高篇基本就是二试内容了,不推荐在这个阶段完成。

平面几何的内容,我只推荐一本书,这本书也是我唯一看过的一本平面几何的书:《奥赛经典——奥林匹克数学中的几何问题》,主要由沈文选老师编写,湖南师范大学出版社出版。请你无视第二篇和第三篇关于立体几何和解析几何的内容,重点在第一篇。除了三四五六七章(从托勒密到九点圆)可以略看,不是考察重点,其他都要认真看。


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这本书的精华就在每一章节的基础知识部分,严密细致的总结归纳,堪称平面几何教科书的典范。另外这本书上的题目难度分级也很合理,不是一味的难或者水,刷的时候可以明显感觉到能力的提升。一个小的不足是错误较多。

关于这一阶段的学习,还要多啰嗦几句:

第一,一试二试两条线要穿插着进行。尤其是一试内容的学习,不仅是在这一阶段,在以后的过程中,都要保证常规的最低训练量。

第二,这个阶段以及下一阶段,都是新知识学习的阶段,你的目标很明确:快速地把这个圈子摸一遍。所以对于部分难题,该放的果断放,必须保证一定的学习速度,但同时要保证质量,走马观花同样是大忌,建议题目的完成+阅读率在80-90%。

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高一下学期到高一暑假

第三阶段从高一下学期开始到高一结束后暑假的中期,是你一试实力进一步提升的阶段,同时也是你开始接触二试部分较难知识(数论、组合)的时期。一试在第二阶段已经说过,在第三阶段你要持续看那两本书。

二试还有三块重要的内容你需要接触:代数、数论和组合。

◆  代数

代数方面,和刷什么书相比更重要的事情是,先说清楚一个未公开的公认事实:代数不一定考,要考也只能是不等式或者数列函数等和一试紧密联系的部分。

明面上代数的内容包括不等式、多项式、所有函数、数列、复数等内容,但实际上你需要真的把它当作二试内容来训练的,就只有不等式。

不等式的内容,我当时练习的是高二年级的《奥数教程》提高篇不等式的部分,难度适中,没有什么特别的亮点,但是入门已经足够了(在这个阶段,不等式也不是你的准备重点)。


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◆ 数论

数论方面,我推荐必读书有两本:《奥数教程》高三年级里面的数论部分(第6-10讲以及第19、20讲),还有《数学奥林匹克小丛书高中卷10数论》,两本书均由余红兵老师编写。说起余老师,他绝对算得上是数学竞赛界数论这一块数一数二的老师,他编写的教材精致而有深度,这两本书是不得不刷的。

《奥数教程》这一本,题目简单基础,非常适合入门阅读。它的闪亮之处,在于余老师给知识点和问题分析写下的注解,一步步引导你思考和挖掘问题,这是竞赛书籍里绝无仅有的,值得你一个一个字地细看深思。而小丛书那一本,就已经具有一定的难度了,题目非常典型和深刻,属于进阶的数论书,适合在入门后阅读。


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◆  组合

组合方面,在这个阶段我推荐的书是《数学奥林匹克小丛书高中卷11组合数学》,由张垚老师编著。

除了母函数这一节可以略看,其他几章章章都堪称精华,难度梯度设置合理,知识覆盖全面,题目典型而有深度,解答细致易懂。即便是入门书籍,它也已经具有了相当的难度,能真正看好这本书,全国联赛的组合基础题肯定是不在话下的。

最后多说一句,组合和数论是二试内容中较难的两块,尤其是组合千变万化,思维性稍欠缺一点的同学会觉得很难上手。如果你在看书的时候觉得很吃力,一定要把速度降下来。

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从高一暑假到高二参赛

第四阶段从高一结束暑假的中后期到高二开学不久的数学联赛。第二、三阶段都是竞赛内容全面铺开、构建知识网络的时期,是你储备知识,提高水平的发酵期,那么现在的第四阶段就是验收成果的时候了,你直面的就是数学联赛。

学生在这一阶段会经历一个大爆发的过程,这一步究竟飞得有多高,直接取决于前两个阶段准备得怎样。

这一阶段,我不再推荐新的书,你可以把前两个阶段没有刷完的书继续跟进。但是有一本刊物:《中等数学》,它每年到了暑假就会发行几本增刊,有一本收集了上一年全国乃至全世界各地的考题,有一本就是各省的竞赛名师专门为联赛命制的模拟题,后者是你准备联赛的利器。

这本增刊一般都包括十几套模拟题,其中每一套你都要当作模拟考试一样限时完成,书写过程然后阅卷。


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需要注意的是,不同的老师有不同的喜好,命制的模拟题风格各异。整本增刊良莠不齐,大多数都是好的,但是个别的几套真的很过分(比如我当年遇到一套题,把一试题当作二试题出,全组一试的平均分不超过30分,一半同学0分或者8分),你需要自己判断。

这一阶段通过练习联赛模拟题,预期的效果当然把你前期的积累转化为联赛的分数,说白了就是找找联赛的感觉。

除此之外,学生的一试还会有很大的提升或者巩固,所以务必把你的一试错题整理收集,一定要保证所有的一试题是以下几种情况:正确完成;算错了的重新计算;不会的看过解答,弄明白了。

另外在这阶段学生的二试成绩不会有硬实力的提高,所以如果遇到了一些看不太明白的二试题,就让它去吧。

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高二联赛后到高三联赛

第五阶段从高二联赛结束到高二结束暑假的前中期。高二的联赛是一个分水岭。如果你的竞赛目标是强省的省队,国赛金牌,集训队甚至更远,下面的推荐适合你。如果你的目标没有这么远,剩下的内容你可以完全忽略,前几个阶段的事情,你大可放慢速度。

之前的推荐那些书,真正看好,就已经能够达到弱省省队和强省省一等奖的层次。

高二联赛的准备,学生的一试、平面几何基本达到了联赛要求,这两块也不会是高二这一年的准备重点,学生的重心需要转移到剩下的三个内容上来,尤其是数论和组合。

◆ 代数

关于代数,我的建议是刷完余红兵老师的《奥数教程》高三年级多项式部分即可。关于不等式,如果你想要练,建议是《数学奥林匹克小丛书高中卷5不等式的解题方法和技巧》,由苏勇和熊斌两位老师合著。

之前说过的《奥数教程》高二年级的部分主要是针对重要的不等式,这一本书则是针对不等式的技巧方法,全面细致。

关于代数部分的建议,学生根据自己的情况适当调整,不想刷也没关系,但是以下关于数论和组合的部分是必看的。


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◆  数论

数论方面,只需做好一本书,不用再看其他的书,就可以达到冬令营的难度要求,甚至走得更远。这本书就是《数学奥林匹克命题人讲座——初等数论》,由冯志刚编写,上海科技教育出版社出版。  


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这本书知识讲解几乎可以忽略,远没有余老师的书出色,但是这本书涵盖了大量的习题,简直就是数论这一块的黄金题库,题目的质量实在是太高(大多数都是很难的,尤其是第一章难度最高),一道道刷过来,数论的能力会有质的飞越。

◆  组合

组合方面,我推荐三本书,推荐首先阅读第一本:《奥赛经典——奥林匹克数学中的组合问题》,这是组合这一块综合性的大百科全书,除了第一二章可以略看,后五章要认真刷完,题量大,题目质量很高,对于组合能力的提升要很大的帮助。


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剩下的两本书,你可以根据需要选择其中一本刷。两本书是《数学奥林匹克小丛书高中卷13组合极值》以及《高中数学竞赛专题讲座——组合构造》,都是由冯越峰老师编著。上面收集的问题同样很精彩,尤其是后者,难度很大,有能力可以两本都刷,组合多练一些绝对错不了。


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最后一个建议是,如果学生平时有机会进行一些模拟考试,推荐这一阶段不要考联赛模拟题,难度要上升,需要尝试去考CMO,美国数学奥林匹克竞赛,有能力甚至可以去试试国家集训队测试、国家队选拔、罗马尼亚大师杯和IMO(在《走向IMO》系列丛书中都有收录)。

如果说高二的联赛是够着去考的话,高三这一年需要以俯视的姿态回归。有意的拔高难度,才能够做到在联赛的考试中游刃有余。

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高二暑假到高三联赛

第六阶段从高二结束暑假的后期到高三联赛。这一阶段,是学生在一系列拔高练习之后的回归期。在这一阶段,需要做好两件事。

首先,把之前刷过的所有书都要过一遍,作为复习。这一个习惯很重要,而且很多人都没有这个习惯。

第一遍看书时难免走得坑坑洼洼,有些题压根没看,有些题当时没看懂,现在是时候回过头来料理它们的时候了。你现在可以从一个更高的观点,去审视原来的问题,想想这道题是怎么来的?它的背后蕴藏了什么东西?这类技巧还经常在哪些题中出现?当时我为什么没有做出来?

一切有意义、有价值的问题,你都可以去思考,然后把你的感悟记下来,这就是总结,它可以帮助你完善知识网络,加深印象,更重要的是它能够帮助你形成解题的经验。另外一个好处就是,当你发现当年把你虐得死去活来的问题不过就那么回事的时候,心情真是倍儿爽。

其次,高二暑假出来的那一本《中等数学》的增刊需要完成。这一点无需我多说,你已经明白。

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从高三联赛到CMO

第七阶段从高三联赛结束到中国数学奥林匹克竞赛(又称国赛、冬令营、CMO)。

如果学生考进了省代表队,并且有资格参加国赛,那么数学竞赛之路还能继续往前走。联赛结束到国赛开始,还有一段时间,在这个阶段,学生需要刷的是三本书。

其中两本是《数学竞赛研究教程》的上下册,还有一本就是《奥数教程学习手册》高三年级,在解答部分结束之后有两个专题:组合问题和数论问题,上面收集的题目和所做的注解非常棒。


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除了书之外,你还需要拔高难度去练习一些国家集训队测试、国家队选拔、美赛、罗马尼亚大师杯、IMO等试题,在《走向IMO》系列丛书中都有收录。

如果你在国赛当中取得了不错的成绩,升学问题就不用担心了,我分享的经验也就到此结束。最后我想总结几点,作为提醒送给你:

◆  竞赛书在精不在多。这是我一路走来的一大感悟,我用我亲身经历和我看见的实例告诉你,很多时候一本书就足够练好一大块内容,一本书刷好了就可以有惊艳的表现。水平上不来,不是因为你书刷得不够,而是你刷得不好。

◆  竞赛书不能光看,一定要自己动笔练习。很多人习惯非常不好,只看不做,很多问题的解答非常精彩,你直接去阅读和你先动笔试试再去看,收获的东西是不在一个数量级上的。

◆  看书的时候要养成动笔记录想法、观点的习惯。我见过身边很多人看完的书干净得像没看过一样,做出来了的打个勾,没做出来的画个圈,仅此而已。这是很糟糕的习惯。刷题时一定要记录一切有价值,有意义的东西,可以是不同于解答的新解法,可以是你的思考和感悟,也可以是你的困惑,总之一切你认为的闪光点,都值得记录。

◆  切忌走马观花,但也不能在一个角落过分纠结。这是两种极端,有些人看书飘得很高,这样的人其实什么都学不到,最后注定死得很惨。但也有些人看书过分追求完美,总觉得我要无死角扫平这本书,但这是不可能的,有些难题和偏题,适当跳过也是必须的。

◆  要有书看多遍的习惯。一本书看第二遍的时候,整个人的感觉都会不一样,觉得自己就像处在另外一个境界,很多问题一下就豁然开朗,这样的体验非常奇妙,而且能够给你带来实质性的帮助——经验式解题的形成,对于稳定联赛成绩,避免极端情况的发生,它具有关键性的作用。

 

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